體素圓生成器 — 用方塊製作圓形、球體與圓頂

體素圓生成器會接收以方塊為單位的直徑，並回傳在正方形網格上構成圓形的精確儲存格。輸入 15，你會得到 177 個方塊。輸入 9，你會得到 69 個。輸出是一份座標清單，而不是一張圖片，因此你可以將它貼進建築、當成採購清單來計數，或交給另一位建造者。免費、免登入、匯出無上限。

同一個直徑也會驅動 3D 預覽：平面圖表會變成球體、圓頂或拱門，你可以在放置任何東西之前先旋轉它。以下將說明演算法、各直徑的精確方塊數、三種輪廓樣式，以及寬度約 12 個方塊以下時會出現的失效情況。

生成器的運作方式

生成器會在正方形網格上對圓的方程式取樣，並保留中心落在半徑內的儲存格。對於直徑 D，它會建立一個 D×D 的網格，測量網格中心到每個儲存格中心的距離，並在 dx*dx + dy*dy <= r*r（其中 r = D/2）時填滿該儲存格。這就是整個演算法。由於比較是以距離的平方進行，因此不會取平方根，也不會有浮點數進位讓邊緣儲存格偏移一格。

D 決定了網格中心落在何處，而這也是各圖表之間唯一會改變的地方。直徑為奇數時，中心會落在方塊的正中央，因此偏移量是整數：D=15 時為 -7 到 7。直徑為偶數時，中心會落在四個方塊共用的角上，因此偏移量是半數：D=8 時為正負 0.5、1.5 等等。因此，兩個大小幾乎相同的圖表幾乎不共用任何座標，你也不能靠增加一列把 15 的圖表變成 16 的圖表。

這個規則沒有任何隨機成分。每個直徑都會產生一份固定、可重現的圖表：D=15 永遠是 177 個儲存格，D=9 永遠是 69 個。你可以把清單貼進錯誤回報、在第二個世界重複使用，或下個月再回來查看，座標都會一致。

常見的顧慮是：當儲存格的中心距離正好等於半徑時，該用 <= 保留它，還是用嚴格的 < 剔除它。如果你實際算一下，這種情況永遠不會發生。直徑為奇數時，偏移量是整數，而 r*r 會以 .25 結尾，因此整數的總和永遠不可能等於它。直徑為偶數時，兩個偏移量都是半數，因此每個平方值都以 .25 結尾，總和則以 .5 結尾，而 r*r 是整數。

在任何直徑下，兩邊都不可能相等，這表示 <= 與 < 會回傳相同的圖表，而一整類「差一格」的錯誤回報也就消失了。真正的邊界情況在別處：D=3 會回傳其 3×3 網格的全部九個儲存格，連角落也算在內，因為角落的中心距離中央約 1.414，而半徑是 1.5。D=3 是一個正方形。第一個會去掉角落的直徑是 D=5。

圓 → 球體 → 圓頂 → 拱門

2D 圖表是赤道切面，同時也是佔地範圍。要得到球體，就在三個維度上執行同樣的判定：對每一層而言，切片半徑是 (r*r - h*h) 的平方根，其中 h 是球心到該層中央的距離。直徑 15 的球體有 15 層。中間那層是 177 個儲存格的圓盤。最頂層與最底層各為 21 個儲存格，也就是 5×5 的佔地範圍，因為該層的中心位於球體頂點下方半個方塊處。

圓頂是把那一疊沿水平面切開。選擇起拱線，也就是牆面不再垂直的那一層，然後只保留它上方的各層。把直徑 15 的球體沿赤道切開，會得到一座高 8 層的圓頂。只保留最上面 5 層，會得到一個淺圓帽，其底部圓環是 13 個方塊的圓，因此這個圓帽會座落在寬 13 的牆上，而不是寬 15 的牆上。

拱門是一塊板，而不是一疊。取用環狀輪廓而非填滿的圓盤，沿著單一軸向筆直擠出你想要的厚度，然後刪除起拱線以下的所有部分。一座寬 15、厚 3 個方塊、並移除圓環最下面四列的拱門，高 11 個方塊。圖表提供你寬度與圓環；厚度與起拱高度則是你另行設定的獨立輸入值。

這就是它與平面圖表的差別。像素圓圖表只提供佔地範圍，然後就結束了。它無法告訴你輪廓在頂端會收束成單一方塊，還是會攤平成平台，也無法顯示同一直徑的圓頂與拱門需要不同數量的材料。旋轉 3D 預覽，就是你在放置任何方塊之前察覺這些差異的方法。

方塊數量與材料

填滿的圓盤成本正好是其內部的儲存格數。這張表是生成器的輸出，而非估算：一個網格儲存格永遠等於一個方塊。

D=15 時，填滿的圓盤是 177 個方塊，在 Minecraft 風格的物品欄中相當於兩疊 64 再加上 49。D=16 則剛好是三疊，這也是搬運材料時偶數直徑很方便的原因之一。如果你只需要圓環，D=15 會降到 40 個儲存格：同樣的輪廓，填滿的圓盤要多花超過四倍的材料。

相較於直徑，材料的選擇更能左右這個數字。實心圓盤從地面高度看會顯得平坦，因此大多數建築會用一種方塊來填滿，再用另一種來做那 40 個儲存格的輪廓，這意味著看得見的成本是輪廓，而填滿的部分則用你手邊多餘的材料即可。厚 3 個方塊的層會讓輪廓數量變成三倍。中空的塔基只使用輪廓，內部留空，而當你蓋成實心時，要付的代價就是這個內部。

三種輪廓樣式

樣式控制筆畫的粗細，以及它在網格上的位置。它不會改變填滿的數量。請在放置任何東西之前先選好樣式，因為事後切換會移動軸上的每一個儲存格。

用於偶數直徑：4、8、16、32。圖形的中心落在四個方塊相接的角上，因此輪廓沿兩軸對稱，但筆畫在頂部、底部、左側與右側都是偶數個方塊寬。偶數圖表能乾淨地縮放——直徑加倍時比例仍然維持——這也是大型建築往往採用它們的原因。

用於奇數直徑：3、5、9、15、31。中心落在一個方塊上，因此會有單一的中間行與單一的中間列，圖形沿它們對稱。奇數圖表才是在小尺寸下看起來像圓形的那一種，因為中央的方塊為你的眼睛提供了一個固定的中心，用來判斷曲線。

平坦化變體保留了奇偶性，但把四個基本方位上各自那個單一的極端儲存格，替換成一段平坦的連續方塊。在 D=9 時，預設的奇數圖表會在最左側放一個方塊。平坦化變體會讓最左側那一行變成 3 個方塊高，因此輪廓看起來像一個圓角正方形。當圓形必須銜接筆直的牆面、門框或軌道線時就使用它，因為平坦的接縫能對齊，而單一的點不行。

在體素世界中建造它

圖表唯有在實際矗立起來之後才有用。3D 遊戲建構工具會把座標清單當作放置樣式，因此產生預覽的同一組數字，也會在你能走動的世界中產生方塊。你不需要在編輯器裡手動重新推導曲線，也不用目測對角線。

預覽是你察覺平面圖表所隱藏之問題的地方：圓環中缺了一個方塊的凹口、在頂端附近翻轉奇偶性並留下一道平台的圓頂切片、玩家爬不上去的對角階梯。這些在螢幕上只需幾秒就能修正，但在一百個方塊放下之後，代價就高得多。Mini World 與 The Cyclops' Island 都是這樣蓋成的——先有平面圖，再立起，然後走進去。

如果你想要的是平面的 Sprite 圓形而非方塊形狀——例如硬幣、環狀計數器、介面徽章——Agent Sprite Forge 會採用相同的半徑，並讓像素版本與方塊版本保持一致，兩者不會漸行漸遠。

走進它所屬的世界

Sprite 是一個無處可站的角色。最後這一步是別人沒有提供的：把你剛才做好的圖集放進一個有人能走動的世界——一座小島、一顆行星、一個下雨的街角。這個網站上的每個世界都是由一段文字描述製作而成，並發布成一個你能遊玩的頁面。

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